Navigation

Aklın İsyanı

Marksist Felsefe ve Modern Bilim

Alan Woods - Ted Grant

Mayıs 1995





16. MATEMATİK GERÇEĞİ YANSITIR MI?

“Öznel düşüncemizin ve nesnel dünyanın aynı yasalara tâbi olduğu ve bu nedenle de son tahlilde birbirleriyle sonuçları bakımından çelişemeyeceği, tersine çakışmak zorunda olduğu fikri kesinlikle tüm teorik düşüncemize egemen durumdadır.” (Engels)

“Soyut” matematiğin içeriği eninde sonunda maddi dünyadan türetilir. Matematiğin doğrularının doğuştan gelen ya da vahiyle inen özel bir tür bilgi olduğu düşüncesi ciddi bir sınavdan geçemez. Matematik gerçek dünyanın nicel ilişkilerini inceler. Matematiğin aksiyomları denen şeyler bize apaçık şeyler olarak görünür, çünkü bunlar gerçekliğe ilişkin uzun bir gözlem ve gerçeklik hakkındaki deneyim döneminin ürünüdürler. Ne yazık ki bu olgu, kendi “saf” konularının kaba maddi varlıklar dünyasıyla hiçbir ilişkisinin olmadığı düşüncesine kapılan günümüzün birçok teorik matematikçisi tarafından unutulmuş görünüyor. Bu durum işbölümünün en uç noktalara kadar götürülmesinin olumsuz sonuçlarının bariz bir örneğidir.

Pythagoras’tan bu yana, bilimlerin kraliçesi, evrenin bütün kapılarını açan sihirli anahtar olarak tasvir edilen matematik adına en ölçüsüz iddialar ileri sürülmüştür. Matematik, fiziksel dünyayla bütün bağlantısını kopararak, kendi kurallarından başka hiçbir kurala tâbi olmayan tanrısal bir varlık kazandığı göklerde süzülüyordu. Bu yüzden büyük matematikçi Henri Poincaré bu yüzyılın başlarında, bilimin yasalarının gerçek dünyayla hiçbir şekilde ilişkili olmadığını, yalnızca ilgili olgunun daha uygun ve daha “yararlı” bir tanımını oluşturmaya mahsus keyfi teamülleri temsil ettiğini iddia edebilmişti. Bazı teorik fizikçiler bugün açıkça, kendi matematiksel modellerinin geçerliliğinin, deneysel olarak kanıtlanabilir olmalarına değil denklemlerinin estetik özelliklerine bağlı olduğunu ifade ediyorlar.

Matematik teorileri bir yandan muazzam bir bilimsel ilerlemenin kaynağı olmuşken, diğer yandan da son derece olumsuz sonuçlar barındırmış ve halen barındırmakta olan sayısız hataların ve yanlış anlamaların kökenini oluşturmuştur. Temel hata, doğanın karmaşık, dinamik ve çelişkili işleyişinin, statik, derli toplu nicel formüllere indirgenmeye çalışılmasıdır. Doğa, noktaların bir doğru, doğruların bir düzlem, düzlemlerin bir küp, bir küre vb. haline geldiği tek boyutlu bir nokta olarak biçimsel bir tarzda ifade edilir. Ne var ki “soyut” matematiğin maddi nesnelerle ilişki kurarak kirletilmemiş mutlak düşünce olduğu fikri gerçeklerden çok uzaktır. Ondalık sistemi mantıksal çıkarımlarımız veya “özgür irademiz” nedeniyle değil, on tane parmağımız olduğu için kullanırız. “Dijital” kelimesi parmaklar anlamına gelen Latince bir kelimeden türer. Ve bugün bile bir öğrenci, soyut bir matematik probleminin cevabını bulmadan önce, maddi bir sıranın altında gizlice maddi parmaklarını sayar. Çocuk böyle yaparak bilinçsizce de olsa aslında ilk insanların saymayı öğrendiği yolu takip etmektedir.

Matematiksel soyutlamaların maddi kökenleri Aristoteles için bir sır değildi: “Matematikçi” diye yazmıştı, “soyutlamaları araştırır. Ağırlık, yoğunluk, sıcaklık vb. bütün duyusal nitelikleri eleyerek, geride sadece nicel, sürekli (bir, iki veya üç boyutta) ve temel özelliklerini bırakır.” Başka bir yerde şöyle der: “Matematiksel nesneler duyusal (yani maddi) şeylerden ayrı olarak varolamazlar.” Ve “doğrulardan, düzlemlerden ya da noktalardan oluşan hiçbir şey görmemekteyiz. Oysa doğrular, düzlemler ve noktalar maddi tözler olsalardı, bunlardan oluşan şeyler görmüş olmamız gerekirdi. Noktalar, doğrular ve düzlemler tanım olarak cisimden önce gelebilirler ama bu nedenle töz olarak önce gelmezler.[1]

Matematiğin gelişimi bütünüyle maddi insan ihtiyaçlarının sonucudur. İlk insan en başta, tam da küçük bir çocuk gibi parmaklarıyla saydığı için sadece on sayı sesine sahipti. Muhtemelen el parmakları gibi ayak parmaklarını da saymaları yüzünden, onluk yerine yirmilik sayı sistemini kullanan Orta Amerikalı Mayalar bir istisnaydı. Para ve özel mülkiyetin olmadığı basit bir avcı-toplayıcı toplumda yaşayan atalarımızın büyük sayılara ihtiyaçları yoktu. Ondan daha büyük bir sayıyı ifade etmek için, parmaklarıyla bağıntılı olan on sesten bazılarını bir araya getirmişti. Böylece, ondan bir fazlası, “bir-on” olarak ifade edilmişti (Latincede “undecim” ve eski Cermencede “ein-lifon” olarak ifade edilen bu sayı modern İngilizcede “eleven” haline gelmiştir). Beş ilâve dışında –yüz, bin, milyon, milyar, trilyon– diğer bütün sayılar yalnızca orijinal on sesin bir bileşimidirler.

Sayıların gerçek kökeni, 17. yüzyılın büyük materyalist İngiliz filozofu Thomas Hobbes tarafından kavranmıştı:

Ve öyle görünüyor ki, bu sayı adlarının kullanılmadığı bir zaman vardı; insanlar hesabını tutmak istedikleri şeyler için bir veya iki ellerinin parmaklarına başvuruyorlardı; ve bu nedenle şu anki sayısal kelimelerimiz, neredeyse her ulusta on üzerinden, bazılarında ise beş üzerinden devam eder ve daha sonra tekrar başlarlar.[2]

Alfred Hooper şöyle açıklar:

Tam da ilkel insan, parmakları kadar sayı-sesleri icat ettiğinden dolayı, bugünkü sayı sistemimiz onluk bir sistem, yani on sayısına dayanan ve ilk on temel sayı-sesinin biteviye tekrarından oluşan bir sistemdir... Eğer insanlara on yerine on iki parmak verilmiş olsaydı, hiç şüphesiz on ikilik bir sayı sistemine, yani on iki temel sayı-sesinin biteviye tekrarından oluşan on ikiye dayanan bir sisteme sahip olurduk.[3]

Aslında on ikilik sistem ondalık sistemle karşılaştırıldığında bazı avantajlara sahiptir. On yalnızca iki ve beşe tam bölünebilirken, on iki sayısı iki, üç, dört ve altıya tam bölünebilir.

Roma rakamları parmakların resimsel tasviridirler. Muhtemelen beş için kullanılan sembol baş parmakla diğer parmaklar arasındaki boşluğu ifade ediyordu. “Calculate” [hesaplamak] sözcüğünü türettiğimiz “calculus” [hesap] kelimesi Latince’de, bir abaküs üzerindeki taş boncukları sayma yöntemiyle bağlantılı olarak “çakıl taşı” anlamına gelir. Bu ve bunun gibi sayısız diğer örnekler matematiğin insan aklının özgür işleyişinden doğmadığını, tersine uzunca bir toplumsal evrim, deneme yanılma, gözlem ve deney sürecinin ürünü olduğunu ve görünüşte soyut karakterli bir bilgi bütünü olarak tedricen ayrışmış olduğunu gösterir. Aynı şekilde bugünkü ağırlık ve ölçü sistemlerimiz de maddi nesnelerden türetilmiştir. İngiliz ölçü birimi “foot”un [ayak] kökeni besbelli ortadadır, tıpkı İspanyolcada bir inç için kullanılan ve başparmak anlamına gelen “pulgada” kelimesinde olduğu gibi. En temel matematik sembolleri olan (+) ve (–)nin kökeninin matematikle hiçbir ilişkisi yoktur. Bu işaretler, Ortaçağda tüccarlar tarafından ambardaki mal miktarının fazlalığını veya noksanlığını hesaplamak için kullanılan işaretlerdir.

Çeşitli unsurlardan kendilerini korumak üzere konutlar inşa etme ihtiyacı, ilk insanları, uçları birbirine tam denk gelecek şekilde odun kesmenin en iyi ve en pratik yolunu bulmaya zorladı. Bu dik açının ve marangoz gönyelerinin keşfi anlamına geliyordu. Toprak seviyesinde bir ev inşa etme ihtiyacı, Mısır ve Roma mezarlarında resmedilen, tepesine bağlanmış bir iple bir ikizkenar üçgen şeklinde birbirine birleştirilmiş üç tahta parçasından oluşan bir çeşit taban terazisinin bulunmasına yol açtı. Bunun gibi basit pratik aletler piramitlerin yapımında kullanıldı. Mısırlı rahipler tamamen bu gibi pratik faaliyetlerden türeyen muazzam bir matematiksel bilgi birikimine ulaştılar.

“Geometri” kelimesinin tam da kendisi pratik kökenini ele verir. Tek anlamı “yer-ölçüsü”dür. Yunanlıların erdemi bu keşifleri tamamlanmış bir teorik ifadeye kavuşturmalarıydı. Bununla birlikte, teoremlerini mantıksal çıkarımın saf ürünleri olarak sunmakla kendilerini ve gelecek kuşakları yanıltıyorlardı. Matematik eninde sonunda maddi gerçeklikten türer, zaten öyle olmasaydı tek bir uygulama alanına bile sahip olamazdı. Pythagoras’ın bütün öğrenciler tarafından bilinen ünlü teoremi –bir dik üçgende hipotenüsün karesi, diğer iki dik kenarın karelerinin toplamına eşittir– bile Mısırlılar tarafından uygulamada hesaplanmıştı.

Matematikteki çelişkiler

Engels ve ondan önce Hegel, matematikte bulunan sayısız çelişkiye işaret etti. Matematikçilerin “yüce bilimleri” için öne sürdükleri kusursuzluk ve neredeyse papa yanılmazlığı iddialarına rağmen bu hep böyleydi. Bu moda, mistik bir Sayı anlayışını ve uyumlu evren fikrini taşıyan Pisagorcular tarafından başlatıldı. Fakat çok geçmeden uyumlu ve düzenli matematiksel evrenlerinin, çözümü onları çaresizliğe sürükleyen çelişkilerle yüklü olduğunu keşfettiler. Örneğin bir karenin köşegeninin uzunluğunu sayılarla ifade etmenin imkânsız olduğunu buldular.

Sonraki Pisagorcular, iki sayısının karekökü gibi, sayılarla ifade edilemeyecek birçok sayının olduğunu keşfettiler. Bu bir “irrasyonel sayı”dır. Fakat ikinin karekökü bir kesir olarak ifade edilememesine rağmen, bir üçgenin kenar uzunluğunun bulunmasına yarar. Bugünün matematiği, evcilleşmeleri için harcanan bütün gayretlere rağmen hâlâ evcilleşmemiş, ancak bir kez ne oldukları kabul edildiğinde değerli hizmetlerle karşılık veren bu gibi garip hayvanların gerçek bir hayvanat bahçesidir. Bu yüzden, hepsi garip ve çelişkili özellikler gösteren ve hepsi modern bilim çalışmaları için vazgeçilmez olan irrasyonel, imajiner, transendental ve sonluötesi sayılarımız vardır.*

Esrarengiz p (pi) sayısı antik Yunanlılar tarafından iyi biliniyordu ve çocuklar nesiller boyunca bu sayıyı, çemberin çevresi ile çapı arasındaki oran olarak tanımlamayı öğrenmiştir. Gariptir ama onun gerçek değeri yine de bulunamamaktadır. Arkhimedes onun ortalama değerini “tüketme” olarak bilinen bir yöntemle hesapladı. Bu değer 3,14085 ve 3,14286 arasında bir değerdi. Ancak eğer kesin değeri yazmayı denersek, garip bir sonuç elde ederiz: p=3,14159265358979323846264338327950... ve sonsuza kadar gider. Bugün transendental bir sayı olarak bilinen pi (p) bir dairenin çevresini bulmak için kesinlikle gereklidir, ancak cebirsel bir denklemin çözümü olarak ifade edilemez. Bundan başka, hiç de aritmetik bir rakam olmayan eksi birin (–1) karekökü vardır. Hiçbir gerçel (reel) sayı kendisiyle çarpıldığında –1 sonucunu veremeyeceğinden –çünkü iki eksinin çarpımı artı yapar– matematikçiler –1 sayısının karekökünü “imajiner (hayali) sayı” olarak anarlar. En garip yaratık olan bu sayı, adına rağmen hayal gücünün bir uydurması değildir. Anti-Dühring’de Engels buna şöyle işaret eder:

Herhangi bir şeyin karesinin negatif bir büyüklük olması bir çelişkidir, çünkü kendisiyle çarpılan her negatif büyüklük pozitif bir kare verir. Öyleyse eksi birin kare kökü sadece bir çelişki değil saçma bir çelişki, gerçek bir saçmalıktır. Ama yine de birçok durumda hatasız bir matematiksel işlemin zorunlu sonucudur. Dahası, ’le işlem yapılması yasaklansaydı, ister yüksek olsun ister basit, matematik ne hale gelirdi?[4]

Engels’in kısa yorumu bugün daha da doğrudur. Artı ve eksinin bu çelişkili bileşimi, kuantum mekaniğinde kesinlikle çok önemli bir rol oynar, modern bilimin temeli olan bir sürü denklem bu sayıyı içerir.

Bu matematiğin şaşırtıcı çelişkiler barındırdığı tartışma götürmez. Hoffman bu hususta şunları söylemek zorunda kalmıştır:

Böylesi bir formülün, katı deneyler dünyasıyla, yani fizik dünyasıyla herhangi bir bağlantısının olması gerektiğine inanmak güçtür. Yeni fiziğin en derin temelini oluşturacağı ve kendisinden öncekilere göre bilim ve metafiziğin bağrına çok daha derin biçimde uzanacağı, bir zamanlar dünyanın yuvarlak olduğu doktrini ne kadar inanılmaz göründüyse o kadar inanılmazdır.[5]

Günümüzde sözde “imajiner” sayıların kullanımı bir oldu bitti olarak kabul edilmektedir. Eksi birin kare kökü, elektrik devrelerinin oluşturulması gibi bir dizi zorunlu işlem alanlarında kullanılır. Sonluötesi sayılara gelince, bu sayılara da uzay ve zamanın doğasını anlamak için gereksinim duyulmaktadır. Modern bilim, ve özellikle kuantum mekaniği, niteliği açıkça çelişkili olan matematiksel kavramları kullanmaksızın ayakta kalamazdı. Kuantum mekaniğinin kurucularından biri olan Paul Dirac, a çarpı b’nin b çarpı a ile aynı şey olduğunu ifade eden bayağı matematiğin yasalarına meydan okuyan “Q” sayılarını keşfetti.

Sonsuz var mı?

Sonsuz fikri kavranması zor bir fikir gibi görünür, çünkü ilk bakışta bütün insani deneyimlerin ötesindedir. İnsan aklı sonlu düşüncelerde dile getirilen sonlu şeyleri ele almaya alışmıştır. Her şeyin bir başlangıcı ve sonu olduğu düşüncesi alışılmış bir düşüncedir. Fakat alışılmış olan mutlaka doğru değildir. Matematiksel düşünce tarihi bu konuda son derece öğretici bazı derslerle doludur. En azından Avrupa’daki matematikçiler, uzun süre sonsuzluk kavramını zihinlerden uzaklaştırmaya çalıştılar. Bu uğraşların nedeni yeterince açıktır. Sonsuzluğu kavramsallaştırmanın açık zorluğundan başka, saf matematiksel terimlerle sonsuzluk bir çelişki içerir. Matematik belirli büyüklükleri ele alır. Sonsuzluk ise doğası gereği sayılamaz ya da ölçülemez. Bunun anlamı, ikisi arasında gerçek bir çatışma olduğudur. Bundan ötürü antik Yunanın büyük matematikçileri sonsuzluktan vebadan kaçar gibi kaçmışlardır. Buna rağmen insanoğlu felsefenin başlangıcından beri sonsuzluk hakkında spekülasyonlarda bulunmuştur. Anaksimandros (İ.Ö. 610-547) sonsuzluğu kendi felsefesinin temeli olarak almıştır.

Zenon paradoksları (İ.Ö. 450) hareketin bir yanılsama olduğunu kanıtlamaya çalışarak, sürekli büyüklüklerin bir bileşeni olarak sonsuz küçük nicelikler düşüncesinin özündeki zorluğa işaret eder. Zenon hareketi çeşitli biçimlerde “çürüttü”. Hareket halindeki bir kütlenin verili bir noktaya varmadan önce, ilkin mesafenin yarısını kat etmesi gerektiğini ileri sürdü. Ama bundan önce, bu yarı mesafenin de yarısını kat etmelidir ve bu böylece sonsuza kadar devam eder. Bu nedenle, iki kütle aynı yönde hareket ediyorsa ve öndekinden belirli bir mesafe arkada olan daha hızlı hareket ediyorsa, arkadakinin öndekine yetişeceğini varsayarız. Böyle değildir der Zenon: “Yavaş olan hiçbir zaman hızlı olan tarafından yetişilip geçilemez.” Bu ünlü Hızlı Akhilleus paradoksudur. Akhilleus’la bir kaplumbağa arasındaki bir yarışı hayal edin. Akhilleus’un, 1000 metre önde başlayan bir kaplumbağadan on kat daha hızlı koşabileceğini varsayalım. Akhilleus 1000 metre yol kat ettiğinde kaplumbağa 100 metre önde olacaktır; Akhilleus 100 metre kat ettiğinde kaplumbağa 10 metre önde olacaktır. O mesafeyi de kat ettiğinde kaplumbağa bir metrenin onda biri kadar önde olacaktır ve bu böylece sonsuza kadar gider.

Zenon paradoksu hareketin bir yanılsama olduğunu ya da Akhilleus’un pratikte kaplumbağaya yetişemeyeceğini kanıtlamaz, ama gerçekten de bugün biçimsel mantık olarak bilinen düşünme biçiminin sınırlarını parlak bir şekilde açığa çıkarır. Tıpkı Eleacıların yaptığı gibi gerçeklikten bütün çelişkileri ayıklama girişimi, kaçınılmaz olarak bu türden çözümsüz paradokslara veya daha sonra Kant’ın taktığı isimle mantıksal çatışkılara yol açar. Bir çizginin sonsuz sayıda noktadan oluşamayacağını kanıtlamak için Zenon, durumun gerçekten bu olması halinde Akhilleus’un kaplumbağaya asla yetişip geçemeyeceğini iddia etti. Burada gerçekten mantıksal bir sorun vardır. Alfred Hooper’ın açıkladığı gibi:

Bu paradoks, ortak çarpanı 1’den küçük olan ve bu nedenle terimleri gittikçe küçülen ve böylelikle de belli bir limit değerine “yakınsayan” bir geometrik dizi oluşturan sayıların sonsuz seri toplamını bulmanın mümkün olduğunu bilen insanları bile hâlâ şaşırtmaktadır.

Aslında Zenon, matematiksel düşüncede, iki bin yıl çözüm bekleyecek olan bir çelişkiyi ortaya çıkarmıştı. Bu çelişki sonsuzluğun kullanımıyla ilgilidir. Pythagoras’tan 17. yüzyılda diferansiyel ve integral hesaplarının keşfine kadar, matematikçiler sonsuzluk kavramının kullanımından kaçınmak için mümkün olan her yola başvurdular. Sadece büyük dahi Arkhimedes konuyu ele aldı, ancak yine de dolambaçlı bir yöntem kullanarak ondan kaçındı. Zenon’un öğrencisi olan Leukippus’tan başlayarak eski atomcular, atomların “bölünemez ve sonsuz sayıda olduklarını, sonsuz genişlikteki boş uzayda durmaksızın dolaştıklarını” ifade ettiler.

Modern fizik, iki saniye arasındaki anların sayısının sonsuz olduğunu kabul eder, tıpkı ne bir başlangıcı ne de bir sonu olan bir zaman aralığındaki anların sayısının sonsuz oluşu gibi. Evrenin bizzat kendisi, durmaksızın değişen, hareket eden ve gelişen neden ve sonuçların sonsuz bir zincirinden oluşur. Bu, “sonsuzluğun” her zaman bir sayısıyla “başladığı” basit aritmetikteki sonsuz sayı serilerini içeren kaba ve tek taraflı sonsuzluk fikrine hiç benzemez. Hegel’in “Kötü Sonsuzluk” dediği şey budur.

Yunan matematikçilerin en büyüğü Arkhimedes (İ.Ö. 287-212) geometride bölünemezleri etkin bir biçimde kullandı; ancak sonsuz büyük ve sonsuz küçük fikrini mantıksal bir temel olmaksızın ele aldı. Aynı şekilde Aristoteles, cisimlerin biçimleri olması gerektiği için sınırlanmış olmaları gerektiği ve bu nedenle sonsuz olamayacakları fikrini ileri sürdü. İki çeşit “potansiyel” sonsuzluk –aritmetikte birbirini izleyen toplamlar (sonsuz büyük) ve geometride birbirini izleyen bölümlemeler (sonsuz küçük)– olduğunu kabul ederken yine de bir çizgi parçasının birçok değişmez sonsuz küçükten veya bölünmezden oluştuğunu savunan geometricilerle polemiğe girişti.

Sonsuzluğun bu inkârı klasik Yunan matematiğinin gelişimine gerçek bir engel oluşturdu. Tersine Hintli matematikçilerin bu gibi kuruntuları yoktu ve daha sonra Araplar yoluyla Avrupa’ya giren büyük ilerlemeler sağladılar. Biçimsel mantığın katı şemaları gereğince, çelişkiyi düşünceden kovma girişimi matematiğin gelişimini duraklattı. Ancak Rönesansın maceracı ruhu insanların aklını yeni olasılıklara, işin doğrusu sonsuzluk fikrine açtı. Yeni Bilim (1638) adlı kitabında Galileo her tam sayının sadece bir tam karesinin olduğuna ve her tam karenin sadece bir pozitif tam sayının karesi olduğuna işaret etti. Böylece bir bakıma ne kadar pozitif tamsayı varsa o kadar da tam kare vardır. Bu bizi derhal mantıksal bir çelişkiye götürür. Bu, bütünün, kendisini oluşturan parçalardan daha büyük olduğu aksiyomuyla çelişir, çünkü tüm pozitif tamsayılar bir tam kare değildirler ve tüm tam kareler tüm pozitif tamsayıların bir parçasını oluştururlar.

Bu paradoks, insanoğlunun düşüncelerini ve kabullerini eleştirel bir analize tâbi tutmaya başladığı Rönesanstan beri matematikçilerin başına belâ olan sayısız paradokslardan yalnızca biridir. Bunun bir sonucu olarak, muhafazakâr kafaların inatçı direnişlerine rağmen matematiğin sözde itiraz edilemez aksiyomları ve “ebedi doğruları” yavaşça ve birer birer yerle bir edildi. Tüm gösterişli yapının çürük olduğunun ve daha sağlam ama yine de daha esnek temeller üzerinde –ki zaten varoluş sürecinde yatan ve kaçınılmaz olarak diyalektik karakterli bir temel üzerinde– tam bir yeniden inşa gereksiniminin bulunduğunun artık ortaya çıkmış olduğu bir noktaya ulaşıyoruz.

Kalkülüs (Hesap)

Ortaçağdan bu yana matematikteki en büyük atılım olan diferansiyel ve integral hesabın keşfedilmesiyle Klasik Yunan matematiğinin aksiyomları denilen şeylerin birçoğunun temeli zaten zayıflamıştı. Doğru ve eğrinin mutlak zıtlar olduğu ve ikisinin de ortak ölçülerinin olmadığı, yani birinin diğeri cinsinden ifade edilemeyeceği fikri bir geometri aksiyomudur. Oysa son tahlilde diferansiyel hesapta doğru ve eğri eşit kabul edilir. Engels’in işaret ettiği gibi, bunun temeli konunun Leibniz ve Newton tarafından ele alınmasından çok uzun süre önce ortaya konulmuştu: “Matematikteki dönüm noktası Descartes’in değişken büyüklüğü olmuştu. Bununla matematiğe hareket, diyalektik ve ardından da Newton ve Leibniz tarafından keşfedilmemiş olsa da tam olarak onlar tarafından tamamlanmış olan diferansiyel ve integral hesabın zorunluluğu ihtiyacı girdi.[6]

Kalkülüsün keşfi, matematikte ve genel olarak bilimde bütünüyle yeni ufuklar açtı. Eski tabular ve yasaklar bir kez aşıldıktan sonra, matematikçiler yepyeni alanları araştırmak için özgürleştiler. Fakat sonsuz büyük ve sonsuz küçük çokluklardan, eleştirel olmayan bir yolla, mantıksal ve kavramsal sonuçlarını düşünmeksizin yararlandılar. Sonsuz küçük ve sonsuz büyük çoklukların kullanımı, belli nedenlerden dolayı hiç de açık olmayan ama yine de her zaman doğru sonucu veren bir çeşit “kullanışlı hayal ürünü” olarak görüldü. Mantık Bilimi adlı eserinin birinci cildinin Nicelik konulu bölümünde Hegel, matematiksel sonsuzla tanışılmasının bir yandan matematiğin önünde yeni ufuklar açarken ve önemli sonuçlara yol açarken, diğer yandan yine de açıklamasız kaldığına, çünkü mevcut geleneklerle ve yöntemlerle çatıştığına dikkat çeker:

Fakat matematiksel sonsuz yönteminde, matematik, kendisinin bir özelliği olan ve bir bilim olarak üzerine yaslandığı bu yöntemde esaslı bir çelişkinin farkına varır. Çünkü sonsuzun hesaplanması, sonlu büyüklüklerle işlem yaparken matematiğin toptan reddetmesi gereken işlem tarzlarını kabul eder ve gerektirirken, aynı zamanda, sonlu büyüklükler için geçerli olan yöntemleri sonsuz büyüklüklere de uygulamanın yolunu arayarak bu sonsuz büyüklükleri de sonlu nicelikler olarak ele alır.[7]

Sonuç, kalkülüsün geçerliliğine dair uzun bir tartışma dönemi oldu. Berkeley mantık yasalarıyla açıkça çeliştiği için onun geçersiz olduğunu ilân etti. Principia adlı eserinde bu yeni yöntemi kullanan Newton, ters bir tepki alma korkusuyla, kendisini bu gerçeği halktan gizlemek zorunda hissetti. 18. yüzyılın başlarında, Bernard Fontenelle, sonsuz tane doğal sayı olduğuna göre sonlu sayıların mevcudiyeti ne kadar doğruysa sonsuz bir sayının mevcudiyetinin de o kadar doğru olacağını ve sonsuzluğun karşıtının bir sonsuz küçük olduğunu açıkça ifade edecek cesareti sonunda kendisinde buldu. Bununla birlikte, Fontenelle sonsuzluğu bir yanılsama olarak reddeden Georges de Buffon tarafından yalanlandı. D’Alembert’in üstün zekâsının bile bu fikri kabul etmeye gücü yetmedi. Encyclopaedia’da diferansiyel hakkındaki makalesinde, sonlu çoklukların bir limiti şeklindeki olumsuz anlamı dışında, sonsuzluğun varlığını reddetti.

“Limit” kavramı, aslında sonsuzluğa içsel olan çelişkinin üstesinden gelme çabası olarak devreye sokuldu. Bu çaba, matematikçilerin düşünüp taşınmaksızın kalkülüsü basitçe kabul etmeye –tıpkı eski kuşakların alışık oldukları gibi– artık yanaşmadıkları 19. yüzyılda özellikle çok yaygındı. Diferansiyel hesap, çeşitli derecelerden –birinci dereceden, ikinci dereceden vs.– sonsuz ölçüde küçük büyüklüklerin varlığını ön koşul olarak kabul etti. İşin içine “limit” kavramını katarak, en azından gerçek bir sonsuzluğun gerekmediği izlenimini oluşturdular. Niyet sonsuzluk fikrinin öznel olduğunu göstermek, nesnelliğini inkâr etmekti. Bu değişkenler madem verili herhangi bir nicelikten daha küçük olabiliyorlar o halde potansiyel olarak sonsuz ölçüde küçük olabilirler dendi, tıpkı potansiyel olarak sonsuzun önceden tespit edilmiş herhangi bir büyüklükten daha büyük olabileceği gibi. Başka bir deyişle, “istediğiniz kadar büyük veya küçük!” Bu el çabukluğu, zorluğu ortadan kaldırmadı, sadece kalkülüsün içindeki çelişkileri örtmek için bir incir yaprağı sağladı.

Büyük Alman matematikçisi Karl Friedrich Gauss (1777-1855) matematiksel sonsuzluğu kabul etmeye hazırdı, ancak gerçek sonsuzluk fikri karşısında dehşete kapılıyordu. Bununla birlikte çağdaşı Bernard Bolanzo, Galileo’nun paradoksundan yola çıkarak “tam sonsuzluk” fikrindeki örtük paradoks üzerinde ciddi bir çalışmaya başladı. Bu çalışma daha sonra sonsuzu pozitif bir şey olarak nitelendiren ve aslında pozitif sayılar kümesinin negatif olarak (yani sonsuz olmayan bir şey olarak) değerlendirilebileceğine dikkati çeken Richard Dedekind (1813-1914) tarafından daha da geliştirildi. Son olarak, George Cantor (1845-1918) sonsuz kümeler tanımının çok daha ötesine gitti ve tamamen yeni bir “sonluötesi sayılar” aritmetiğini geliştirdi. Cantor’un 1870’de yazmaya başladığı eseri, sonsuzluğun Demokritos’la başlayan tüm tarihinin yeniden gözden geçirilişidir. Bundan yola çıkarak, kümeler teorisine dayanan yepyeni bir matematik dalı geliştirildi.

Cantor, ne kadar büyük olursa olsun bir alandaki ya da bir hacimdeki veya daha çok boyutlu bir ortamdaki noktaların, bir doğrudaki veyahut ne kadar küçük olursa olsun bir doğru parçasındaki noktalarla birebir eşlenebileceğini gösterdi. Nasıl son bir sonlu sayı olamazsa, aynı şekilde son bir sonluötesi sayı da olamaz. Bu bakımdan Cantor’dan sonra, sonsuzun matematikte işgal ettiği merkezi konum hakkında hiçbir tartışma söz konusu olamaz. Dahası onun çalışmaları, modern matematiğin başına dert olan ve hâlâ çözüm bekleyen bir dizi paradoksu da ortaya çıkardı.

Tüm modern bilimsel analizler süreklilik kavramına dayanır, yani uzaydaki iki nokta arasında başka sonsuz sayıda nokta vardır ve aynı şekilde zamanın herhangi iki noktası arasında da başka sonsuz sayıda an vardır. Bu kabulleri yapmaksızın modern matematik işleyemezdi. Bu gibi çelişkili kavramlar eski kuşaklar tarafından öfkeyle reddedilir veya en azından şüpheyle karşılanırdı. Sadece Hegel’in diyalektik dehası (yeri gelmişken kendisi büyük bir matematikçidir) sonlu ve sonsuz, uzay, zaman ve hareket üzerine analizlerinde bunların hepsini öngörme yeteneğindeydi.

Ama yine de bütün delillere rağmen birçok modern matematikçi, sonsuzluğun geçerliliğini “soyut” matematiğin bir olgusu olarak kabul ederken, sonsuzluğun nesnelliğini inkâr etmekte ısrar ediyorlar. Böyle bir ayrımın hiçbir anlamı yoktur. Matematik gerçek, nesnel dünyayı yansıtmayı beceremiyorsa, ne işe yarar? Modern matematikte (ve dahası inanılmaz gibi gelse de teorik fizikte), nesnel dünyadan bağımsız olarak bir denklemin geçerliliğinin tümüyle onun estetik değeri sorunu olduğu varsayılarak, en mistik biçimli idealizme belirli bir geri dönüş eğilimi vardır.

Matematiksel işlemlerin gerçek dünyaya uygulanabilmesi ve anlamlı sonuçlar elde edilebilmesi, matematik ile gerçek dünya arasında bir yakınlık olduğunu gösterir. Aksi takdirde matematiğin pratik uygulanabilirliği olmazdı ki, durumun böyle olmadığı açıktır. Modern matematikte sonsuzluğun kullanılabilmesinin ve kullanılma zorunluluğunun nedeni, bizzat doğanın kendisinde sonsuzluğun varoluşuna dayanır, ki kendisini matematiğe dayatan da, tüm kapı dışarı etme çabalarına karşın davetsiz bir misafir gibi çıka gelen bu doğadır.

Matematiğin sonsuzluğu kabul etmesinin neden bu kadar uzun sürdüğü Engels tarafından çok güzel açıklanmıştır:

Sonu olan fakat başlangıcı olmayan bir sonsuzluğun, başlangıcı olan fakat sonu olmayan bir sonsuzluktan ne daha çok ne de daha az sonsuz olduğu açıktır. En küçük diyalektik kavrayış bile Bay Dühring’e, başlangıç ve sonun tıpkı Kuzey ve Güney kutbu gibi zorunlu olarak birbirlerine bağlı bulunduğunu ve eğer son kaldırılıp atılırsa, bizzat başlangıcın bir son haline –bir serinin sahip olduğu tek son haline– geleceğini (ve tersi) söylemesi gerekirdi. Sonsuz serilerle çalışma matematiksel alışkanlığı olmasaydı, bütün aldanma imkânsız olurdu. Matematikte belirsize, sonsuza ulaşmak için belirli, sonlu terimlerden başlamak gerektiği için, pozitif ya da negatif olsun tüm matematiksel seriler 1 sayısıyla başlamak zorundadır, aksi takdirde bu seriler hesap yapmakta kullanılamazlar. Ama matematikçinin mantıksal gereksinmesi gerçek dünya için zorunlu bir yasa olmaktan çok uzaktır.[8]

Matematikte Kriz

Okul günlerimizden beri bizlere, matematiğe, kendinden menkul doğrular olan “aksiyomlarıyla” ve katı mantıksal çıkarımlarıyla bilimsel kesinliğin son sözü olarak bakmamız öğretildi. 1900 yılında toplanan Uluslararası Matematikçiler Kongresinde David Hilbert, en önemli 23 çözümsüz matematik probleminden oluşan bir listeyi ortaya koymasına rağmen, o yıllarda tüm bunlara kesin gözüyle bakılırdı. Bu noktadan itibaren işler teorik matematikte gerçek bir krizden bahsetmenin mümkün olduğu bir noktaya doğru gittikçe daha da karmaşıklaştı. 1980’de yayınlanan çok okunan kitabı Matematik: Kesinliğin Kaybı’nda Morris Klein durumu şöyle açıklıyor:

19. yüzyılın başlarındaki keşifler, tuhaf geometriler ve tuhaf cebirler, matematikçileri istemeye istemeye matematiğin gerçek olmadığını ve matematiksel bilim yasalarının doğru olmadığını anlamaya zorladı. Örneğin birbirinden farklı birçok geometrinin uzaysal deneyime aynı ölçüde denk düştüğünü buldular. Hepsi doğru olamazdı. Görünüşe göre matematiksel tasarım doğaya içsel değildi, ya da öyleyse bile insanoğlunun matematiği bu tasarımın zorunlu açıklanışı değildi. Gerçeğin anahtarı kaybedilmişti. Bunun fark edilişi matematiğin başına gelen felâketlerin ilkiydi.

Yeni geometrilerin ve cebirlerin bulunuşu, matematikçilerin başka bir doğa şokunu yaşamasına yol açtı. Doğruları elde ettikleri kanısı onları o kadar kendilerinden geçirmişti ki, sağlam bir muhakeme pahasına, bu zahiri doğruları güvence altına almak için hummalı bir koşuşturmaya girişmişlerdi. Matematiğin bir doğrular kümesi olmadığının fark edilmesi, kendi yarattıkları şeye karşı duydukları güveni sarstı ve kendi keşiflerini tekrar gözden geçirmeye giriştiler. Matematiğin mantığının acıklı bir durumda olduğunu bulmak onları dehşete düşürdü.

20. yüzyıl başlarında, çözülmemiş problemleri çözmeye, çelişkileri ortadan kaldırmaya, yeni, kullanılması kolay ve güvenilir bir matematik sistemi üzerinde çalışmaya giriştiler. Klein’ın açıkladığı gibi:

1900’de matematikçiler amaçlarına ulaştıklarına inanıyorlardı. Doğanın yaklaşık bir betimlenişi olarak matematikle yetinmek zorunda oluşlarına ve birçok şeyin doğanın matematiksel bir tasarımına olan inancı bile yıkmış olmasına rağmen, matematiğin mantıksal yapısını yeniden kurmaktan büyük bir zevk duydular. Fakat azametli başarılarının şerefine kadeh kaldırmayı daha bitirmemişlerdi ki, yeniden kurulmuş matematik içinde çelişkiler bulundu. Genellikle bu çelişkilere paradoks deniyordu ki, bu kelime, çelişkilerin matematiğin mantığını bozduğu gerçeğiyle yüzleşmekten kaçınan bir hüsn’ü tabirdi.

Zamanın önde gelen matematikçileri ve felsefecileri çelişkilerin çözülmesi işini derhal üstlerine aldılar. Gerçekte her biri birçok taraftar toplayan dört farklı matematiksel yaklaşım tasarlandı, formüle edildi ve ileri sürüldü. Bu temel ekollerin hepsi sadece bilinen çelişkileri çözmeye değil aynı zamanda yeni çelişkilerin ortaya çıkamayacağının garantisini vermeye, yani matematiğin tutarlılığını tesis etmeye giriştiler. Kurucu çabalarda başka sorunlar ortaya çıktı. Tümdengelim mantığının bazı aksiyom ve ilkelerinin kabul edilebilirliği de farklı ekollerin farklı tutumlar takındığı tartışmanın belkemiği haline geldi.

Çelişkileri matematikten çıkarıp atma girişimi sadece yeni ve çözümsüz çelişkilere yol açtı. Son darbe de, Kurt Gödel’in 1930’da, klasik matematiğin temel yöntemlerini bile sorgulayan ve bir krize neden olan ünlü teoremlerini yayınlamasıyla vuruldu:

1930’a kadar bir matematikçi matematiğin birçok ekolünden birini veya diğerini kabul etmekle belki yetinebilir ve matematiksel kanıtlarının en azından o ekolün inanışlarına uygun olduğunu ifade edebilirdi. Ancak felâket Kurt Gödel’in ünlü eseri biçiminde çıka geldi; bu eser, diğer önemli ve rahatsızlık verici sonuçlarının yanı sıra, birçok ekol tarafından kabul edilen mantıksal ilkelerin, matematiğin tutarlılığını ispat edemeyeceğini kanıtlıyordu. Gödel bunun, mantıksal prensipler ne yapıldığını sorgulayacak kadar şüpheci bir şekilde işin içine katılmadığı sürece başarılamayacağını gösterdi. Gödel’in teoremleri bir bozguna sebep oldu. Sonraki gelişmeler daha büyük karışıklıklara yol açtı. Örneğin geçmişte kesin bilgiye giden yaklaşım olarak son derece ilgi gören aksiyomcu-tümdengelim yönteminin bile çatladığı görüldü. Bu yeni gelişmelerin net etkisi, matematiğe bir olası yaklaşımlar çeşitliliğinin eklenmesi ve matematikçilerin çok daha fazla sayıda farklı hiziplere bölünmesiydi.[9]

Matematiğin içine düştüğü kördüğüm, hiçbiri diğerinin teorilerini kabul etmeyen birtakım farklı hizipleri ve ekolleri ortaya çıkardı. Matematiği mutlak bir doğru (“Tanrı bir matematikçidir”) olarak gören Platoncular (evet, doğru) vardır. Matematiği kavrayışları Platonculardan bütünüyle farklı olan, ama bu farklılığın sadece nesnel ve öznel idealizm arasındaki fark kadar olduğu Kavramcılar vardır. Bunlar, matematiği birtakım insanların kendi amaçları için icat ettiği bir yapılar, kalıplar ve simetriler serisi olarak görürler; başka bir deyişle matematik nesnel bir temele sahip değildir, tersine saf bir şekilde insan aklının ürünüdür! Görünüşe göre Britanya’da popüler olan, bu teoridir.

Bunlardan başka, 20. yüzyılın başlarında, matematikteki çelişkileri ortadan kaldırma amacıyla oluşturulan Biçimci ekol var. Bu ekolün kurucularından biri olan David Hilbert’e göre, matematik, sembollerin kendi içinde tutarlı bir totolojik ifadeler sistemi üretmek amacıyla belirli kurallara bağlı olarak işlenmesinden ve aksi takdirde hiçbir anlam taşımayacak olan bir şeydi. Burada matematik tıpkı satranç gibi entelektüel bir oyuna indirgenir; yine büsbütün öznel bir yaklaşım. Sezgici ekol de matematiği nesnel gerçeklikten ayırmayı aynı ölçüde kabul eder. Onlara göre, matematiksel bir formülün, bizzat hesaplama eyleminden bağımsız herhangi bir şeyi temsil ettiği söylenemez. Bu yaklaşım, Bohr’un, nesnel gerçeklikten kopuk fiziksel ve matematiksel nicelikler hakkında yeni görüşler ileri sürmek için kuantum mekaniğinin keşiflerini kullanma çabasına benzer.

Tüm bu ekollerde ortak olan şey, matematiğe bütünüyle idealist bir yaklaşımdır. Aralarındaki tek fark, matematiğin Tanrının aklından kaynaklandığını düşünen yeni-Platoncuların nesnel idealist olması ve geri kalanların, yani sezgicilerin, biçimcilerin ve kavramcıların, matematiğin herhangi bir nesnel anlamdan yoksun, insan aklının öznel bir ürünü olduğuna inanmalarıdır. 20. yüzyılın son on yılında belli başlı matematik ekollerinin sunduğu acınası manzara budur. Ama hikâye burada bitmiyor.

Kaos ve Karmaşıklık

Son yıllarda, matematiksel modellerin doğanın gerçek işleyişini ifade etmekteki sınırlılıkları yoğun bir tartışma konusu olmuştur. Meselâ diferansiyel denklemler gerçekliği bir süreklilik olarak temsil ederler, bu süreklilik içinde zaman ve mekandaki değişimler muntazaman ve kesintisiz olarak gerçekleşir. Burada ani kırılmalara ve nitel değişimlere yer yoktur. Oysa bu değişimler doğada fiilen meydana gelmektedir. 18. yüzyılda diferansiyel ve integral hesabın keşfedilmesi büyük bir ilerlemeyi ifade ediyordu. Ama en gelişmiş matematiksel modeller bile gerçekliğe ancak kaba bir yaklaşımdırlar, ancak belli sınırlar çerçevesinde geçerlidirler. Kaos ve anti-kaos hakkındaki son tartışma, klasik matematik formülleri tarafından yeterince ifade edilemeyen süreklilikteki kırılmaları, ani “kaotik” değişimleri içeren bu alanlarda odaklandı.

Düzen ve kaos arasındaki fark, lineer [doğrusal] ve nonlineer [doğrusal olmayan] ilişkileri kullanmalarındadır. Lineer bir ilişkinin matematiksel olarak tanımlanması kolaydır: bir grafik üzerinde düz bir çizgi olarak şu veya bu biçimde ifade edilebilir. Bu ilişkinin matematiği karmaşık da olsa, yanıt hesaplanabilir ve önceden söylenebilir. Nonlineer bir ilişki ise matematiksel olarak kolayca çözülemeyen bir ilişkidir. Onu tanımlayacak hiçbir düz çizgi grafiği yoktur. Nonlineer ilişkiler tarihsel olarak çözülmesi zor veya imkânsız olan ilişkiler olmuştur ve deney hatası olarak sık sık görmezlikten gelinmiştir. James Gleick basit sarkaçla yapılan ünlü deneye atıfta bulunarak, Galileo’nun gördüğü düzenliliğin yalnızca yaklaşık olduğunu yazar. Kütle hareketinin değişen açısı, denklemlerde lineerlikten hafif bir sapma yaratır. Düşük genliklerde, hata neredeyse söz konusu değildir, ama yine de vardır. Derli toplu sonuçlar elde etmek için, Galileo da sürtünme ve hava direnci olarak değerlendirdiği nonlineerliği ihmâl etmek zorundaydı.

Klasik mekaniğin büyük bir bölümü, bilimsel yasalar olarak gerçek hayattan soyutlanan lineer ilişkiler etrafında inşa edilir. Gerçek dünyanın nonlineer ilişkilerin egemenliğine tâbi olması dolayısıyla, bu yasalar genellikle, “yeni” yasaların keşfi aracılığıyla sürekli olarak mükemmelleştirilen yaklaşımlardan daha fazlası değildirler. Bu yasalar, matematiksel modeller ve kuramsal yapılar olup, meşruiyetleri yalnızca sağladıkları önsezide ve doğa güçlerinin denetim altına alınmasında kullanılabilir oluşlarında yatar. Son yirmi yılda bilgisayar teknolojisindeki devrim, nonlineer matematiği erişilebilir kılarak durumu değiştirdi. Bu sayededir ki, ayrı ayrı fakülte ve araştırma kurumlarında, matematikçiler ve diğer bilimciler açısından “kaotik” sistemler için gereken ve geçmişte yapılamayan toplama işlemlerini yapmak mümkün olmuştur.

James Gleick’ın Kaos, Yeni Bir Bilim Yaratmak adlı kitabı, kaotik sistemlerin oldukça farklı matematik modeller kullanan farklı araştırmacılar tarafından incelenmesine rağmen her defasında nasıl olup da tüm çalışmaların aynı sonuçlara vardığını açıklıyor: önceleri saf “düzensizlik” olarak düşünülen şeyin içinde bir “düzen” vardır. Hikâye Amerikalı bir meteorolog olan Edward Lorenz tarafından gerçekleştirilen bir bilgisayar simülasyonunda hava durumuna ilişkin yapıların incelenmesiyle başlamaktadır. Nonlineer ilişkilerde önce on iki, sonra sadece üç değişken kullanan Lorenz, bilgisayarında sürekli olarak değişen ama aynı koşulları tam anlamıyla iki kez asla tekrarlamayan koşullardan oluşan bir sürekli dizi üretmeyi başarmıştı. Nispeten basit matematiksel kuralları kullanarak “kaos” yaratmıştı.

Lorenz’in bilgisayarı, onun seçtiği herhangi bir parametreyle başlayarak, aynı hesapları defalarca ama asla aynı sonucu vermeksizin mekanik bir biçimde yineledi. Bu “aperiyodiklik” (yani, düzenli döngülerin olmayışı) bütün kaotik sistemlerin özelliğidir. Aynı zamanda Lorenz, elde ettiği sonuçlar her defasında farklı olmasına rağmen, en azından sık sık ortaya çıkan “desen” izlerinin varolduğunu fark etti. Bu durum, şüphesiz, bilgisayar simülasyonlu havanın tersine herkesin günlük deneyimlerine denk düşer: “desenler” vardır ama ne herhangi iki gün ne de herhangi iki hafta birbirinin aynıdır.

Diğer bilimciler de, elektronik osilatörün [titreştirici] matematiksel modellenişinden gezegen yörüngelerinin incelenişine kadar pek çok farklı kaotik sistemde benzer “desenler” buldular. Gleick bu ve diğer durumlarda “gelişigüzel görünen davranışın içinde yapı izlerinin” bulunduğunu kaydeder. Kaotik sistemlerin mutlaka kararsız olması gerekmediği ya da belirsiz bir dönem boyunca sürebileceği düşüncesi giderek daha da belirginleşti. Jüpiter gezegeninin yüzeyinde görünen ünlü “kırmızı nokta” kararlı olan sürekli bir kaotik sistem örneğidir. Dahası bu “kırmızı nokta” bilgisayar çalışmalarında ve laboratuvar modellerinde simüle edilmiştir. Demek ki, “karmaşık bir sistem aynı anda hem türbülansa hem de kohezyona yol açabilmektedir.” Bu arada başka bilimciler de, biyolojide kaotik görünen olguları incelemek için farklı matematiksel modeller kullandılar. Bu bilimcilerden özellikle bir tanesi, değişik koşullar altında popülasyonun nasıl değiştiğini gösteren matematiksel bir çalışma yaptı. Biyologların aşina olduğu standart değişkenler, tıpkı doğada olduğu gibi, hesap edilen birtakım nonlineer ilişkilerle birlikte kullanıldı. Bu nonlieerlik durumu, örneğin türün üreme güdüsü, “hayatta kalabilirliği” şeklinde tanımlanabilecek kendine has bir özelliğine denk düşebilirdi.

Bu sonuçlar, yatay eksenini nonlineer bileşenlerin, düşey eksenini de popülasyon büyüklüğünün oluşturduğu bir grafik üzerinde gösterildi. Şu anlaşıldı ki, belli bir parametrenin arttırılmasıyla nonlineerlik önem kazandıkça, elde edilen popülasyon bir dizi belirgin evrelerden geçiyordu. Belli bir kritik düzeyin altında, hiçbir canlı popülasyon söz konusu değildi ve başlangıçtaki popülasyon sayısı ne olursa olsun sonuç yok oluştu. Grafikteki çizgi sıfır popülasyona denk düşen yatay bir yol izliyordu. Bir sonraki evre, yükselen bir eğri şeklindeki tek bir çizgi grafiğiyle ifade edilen bir kararlı durumdu. Bu, başlangıç koşullarına bağlı olan bir düzeyde, kararlı bir popülasyona denk düşüyordu. Sonraki evrede iki farklı ama sabit popülasyon vardı; iki kararlı durum. Bu durum grafikte bir dallanma olarak ya da bir “çatallaşma” olarak görülüyordu. Bu, gerçek popülasyonların iki yıllık bir döngüde düzenli bir periyodik salınımına denk düşüyordu. Nonlineerlik derecesi tekrar arttırıldığında çatallaşmalarda hızlı bir artış oluyordu, ilkin dört kararlı duruma (bu dört yıllık düzenli döngüler anlamına geliyordu) denk düşen bir hale geliyordu ve bu sonra hızla 8, 16, 32 vs. oluyordu.

Böylece, nonlineer parametrelerin küçük bir değer aralığında, her türlü pratik amaç bakımından herhangi bir kararlı durum ya da hissedilebilir bir periyodiklik barındırmayan bir durum gelişmişti: popülasyon “kaotik” bir hale gelmişti. Dahası, eğer kaotik evre boyunca nonlineerlik daha da arttırılırsa, 3 ya da 7 yıllık döngülere dayanan bariz kararlı durumların tekrar ortaya çıktığı ama her iki durumun da nonlineerlik arttıkça ilkinde 6, 12 ve 24 yıllık döngüleri ve ikincisinde de 14, 28 ve 56 yıllık döngüleri ifade eden daha büyük çatallaşmalara yol açtığı periyotların mevcut olduğu anlaşıldı. Bu nedenle matematiksel bir kesinlikle, ister tek bir kararlı durum şeklinde olsun isterse de düzenli, periyodik bir davranış şeklinde, kararlılıktan –her ölçülebilir amaç bakımından– rastlantısal ya da aperiyodik bir duruma dönüşümü modellemek mümkündü.

Popülasyon bilimi alanında bu durum, öngörülemez popülasyon değişimlerinin “kararlı durum normundan” bir sapma olduğuna inanan teorisyenlerle, kararlı durumun “kaotik normdan” bir sapma olduğunu düşünen teorisyenler arasındaki tartışmada muhtemel bir çözümü gösteriyor olabilir. Böylesi farklı yorumlar, farklı araştırmacıların yükselen grafiğin nonlineerliğin tek bir özel değerine karşılık gelen tek bir düşey “dilimini” dikkate almalarından dolayı mümkündür. Bu nedenle bir canlı türü kararlı ya da periyodik bir salınım yapan bir popülasyon normuna sahip olabilirken, diğer bir tür kaotik bir değişkenlik sergileyebilmektedir. Biyolojideki bu gelişmeler, Gleick’ın da açıkladığı gibi “kaosun kararlı ve örgütlü” olduğunun diğer bir göstergesidir. Benzer sonuçlar geniş çeşitlik sergileyen farklı olgularda da keşfedilmeye başlanmıştır. “Deterministik kaos, New York’taki kızamık salgını kayıtlarında ve Hudson Bay Şirketinin avcıları tarafından kaydedilen Kanada vaşağı popülasyonunun 200 yıllık dalgalanmalarında da görülmüştür.” Tüm bu kaotik süreçlerde, bu özel matematik modelin karakteristik özelliği olarak “periyodun ikiye katlanması” olgusu görülür.

Mandelbrot Fraktalları

Kaos teorisinin diğer bir öncüsü, IBM’de çalışan bir matematikçi olan Benoit Mandelbrot, farklı bir matematik tekniği kullandı. IBM için çalışan bir araştırmacı sıfatıyla, geniş bir çeşitlilik gösteren doğadaki “rastlantısal” süreçlerdeki “desenleri” araştırdı ve buldu. Örneğin telefon haberleşmesinde her zaman varolan fon “gürültüsünün” önceden kestirilmesi bütünüyle imkânsız olan ya da kaotik olan, ama yine de matematiksel olarak tanımlanabilen bir desen sergilediğini keşfetti. Mandelbrot IBM’deki bilgisayarları kullanarak, kaotik sistemleri, sadece en basit matematiksel kurallardan yararlanarak grafiksel olarak üretebilmişti. “Mandelbrot kümeleri” olarak bilinen bu resimler sonsuz bir karmaşıklık gösteriyordu, bu resimlerin herhangi bir kısmı daha ince ayrıntıları görmek için “büyütüldüğünde”, sınırsız olarak görünen muazzam çeşitlilik devam ediyordu.

Mandelbrot kümeleri belki de şimdiye kadar görülen en karmaşık matematiksel nesne veya model olarak tanımlanmıştı. Yine de kendi yapısı içerisinde hâlâ desenler mevcuttu. Ölçek defalarca “büyütülerek” daha ince ayrıntılara bakıldığında (tüm yapı belirli bir matematiksel kurallar kümesine dayandığından bilgisayarın sayısız defa yapabileceği bir şey) farklı ölçeklerde düzenli tekrarların –benzerliklerin– varolduğu görülebildi. “Düzensizliğin derecesi” farklı ölçeklerde aynıydı. Mandelbrot düzensizliğin içinde besbelli olan desenleri tanımlamak için “fraktal” ifadesini kullandı. Matematiksel kurallar üzerinde ufak tefek değişiklikler yaparak çeşitli fraktal şekiller yapmayı başardı. Böylece herhangi bir ölçekte (herhangi bir büyültme oranında) her zaman aynı dereceden “düzensizliği” veya “kıvrımlaşmayı” sergileyen bir kıyı şeridini bilgisayarında simüle etmeyi başardı.

Mandelbrot kendi bilgisayar ağırlıklı sistemlerini, farklı ölçeklerde aynı deseni defalarca yineleyen fraktal biçimli geometri örnekleriyle de karşılaştırdı. Örneğin Menger Süngerinde, gerçek katı hacmi sıfıra yaklaşırken, iç yüzey alanı sonsuza gider. Burada, sanki düzensizlik derecesi süngerin yer kaplamaktaki verimliliğine tekabül etmektedir. Bu göründüğü kadar cazip olmayabilir, çünkü Mandelbrot’un da gösterdiği gibi doğada fraktal geometrinin birçok örneği vardır. Nefes borusunun iki bronş oluşturacak şekilde dallanması ve bu dallanmanın bronşlarda aşağılara doğru ciğerlerdeki minik hava geçitleri düzeyine kadar yinelenmesi, fraktal olduğu gösterilebilecek olan bir desen izler. Aynı şekilde kan damarlarının dallanmasının da fraktal olduğu gösterilebilir. Diğer bir deyişle, hangi ölçekte incelenirse incelensin yinelenen bir geometrik dallanma deseni, bir “kendine benzerlik” söz konusudur.

Doğadaki fraktal geometri örnekleri hemen hemen sınırsızdır ve Doğanın Fraktal Geometrisi adlı kitabında Mandelbrot tam da bunu kanıtlamak istemişti. Normal bir kalp atışları spektrumunun, belki de kalp kaslarındaki sinir liflerinin fraktal düzenlenişinden ötürü, fraktal yasalar izlediği bulunmuştur. Aynı durum bir şizofreni özelliği olan gözün istem dışı hızlı hareketleri için de doğrudur. Bu yüzden fraktal matematik, fizyoloji ve deprem çalışmalarından metalürjiye kadar uzanan disiplinleri içeren çeşitli bilim alanlarında bugün rutin bir biçimde kullanılmaktadır.

Kaosun deterministik temelinin diğer göstergeleri, faz geçişleri üzerine çalışmalarda ve matematik modelleyicilerin “çekici” olarak adlandırdıkları şeyler yardımıyla gösterilmişti. Faz geçişlerinin birçok örneği vardır. Bu, bir sıvının “laminer” akıştan türbülanslı akışa geçişi anlamına gelebileceği gibi, katının sıvıya ya da sıvının gaza dönüşümü veya bir sistemin iletkenlikten “süper iletkenliğe” geçişi anlamına da gelebilir. Bu faz değişimlerinin teknolojik tasarım ve inşa alanında son derece önemli sonuçları olabilir. Örneğin bir uçak, kanadı üzerindeki hava akışı laminer akıştan türbülanslı akışa dönüşürse irtifa kaybedecektir; aynı şekilde suyu pompalamak için gereken basınç borudaki akışın türbülanslı olup olmamasına bağlı olacaktır.

Faz-ölçek diyagramları ve çekicilerin kullanımı, rastlantısal gözüken sistemlerde geniş bir uygulama alanı bulan bir diğer matematiksel aracı temsil eder. Diğer kaos çalışmalarında olduğu gibi, elektrik osilatörlerini, akışkan dinamiğini ve hatta küresel yıldız kümelerindeki yıldızların dağılımını içeren çeşitli araştırma programları alanında da “garip çekiciler” olarak anılan, ortak desenlerin mevcut olduğu keşfedilmiştir. Bu çeşitli matematiksel araçların tümü –periyot katlanması, fraktal geometri, garip çekiciler– kaotik dinamiği inceleyen farklı araştırmacılar tarafından farklı zamanlarda geliştirildi. Ama hepsinin sonuçları aynı yöne işaret etmektedir: şimdiye dek rastlantısal olarak düşünülen şeylerin altında matematiksel bir yasallığın yattığına.

Mitchell Feigenbaum adlı bir matematikçi, birkaç ipucunu bir araya getirerek kaosun “evrensel teorisi” olarak adlandırdığı teorisini geliştirdi. Gleick’ın söylediği gibi “teorisinin, düzen ve türbülans arasında geçiş durumunda olan sistemlere ilişkin doğal bir yasayı ifade ettiğine inandı... evrenselliği sadece nitel değil, aynı zamanda niceldi de... sadece desenlere değil kesin sayılara da ulaşmıştı.”

Marksistler, niceliğin niteliğe dönüşümü olarak bilinen diyalektik yasayla buradaki benzerliği fark edeceklerdir. Bu düşünce, değişimin ölçülebilir olduğu aşağı yukarı tedrici bir gelişim döneminden, değişimin o denli “devrimci”, “sıçrama”nın o denli büyük oluşu sayesinde sistemin bütün “niteliği”nin değiştiği bir sonraki döneme dönüşümünü anlatır. Gleick’ın burada kavramları benzer bir anlamda kullanışı, modern bilimsel teorinin materyalist diyalektiğe doğru sendeleyerek de olsa ilerlediğinin bir başka göstergesidir.

Yeni bilimin temel kalkış noktası, onun dünyayla gerçekte olduğu gibi, yani sürekli olarak değişen dinamik bir sistem olarak ilgilenmesidir. Klasik lineer matematik, sabit ve değişmez kategorilerle iş gören biçimsel mantık gibidir. Yaklaşım olarak yeterince sağlamdır ama gerçekliği yansıtmaz. Ne var ki diyalektik, değişimin ve süreçlerin mantığıdır ve bu nedenle biçimcilik karşısında büyük bir ilerlemeyi temsil eder. Aynı şekilde kaos matematiği de, hayatın tatsız düzensizliklerini ihmâl eden, ziyadesiyle “gerçekdışı” bilimden ileriye doğru atılmış bir adımdır.

Nicelik ve Nitelik

Niceliğin niteliğe dönüşümü düşüncesi, modern matematikteki süreklilik ve süreksizlik çalışmalarında zımnen kabul edilir. Bu düşünce 20. yüzyılın başlarında büyük Fransız matematikçi Jules Henri Poincaré (1854-1912) tarafından bulunan yeni geometri dalında, topolojide zaten ifade edilmişti. Topoloji sürekliliğin matematiğidir. Ian Stewart’ın açıkladığı gibi: “Süreklilik düzgün, tedrici değişimlerin incelenişi, devamlılığın bilimidir. Süreksizlikler ani ve dramatiktir: nedende ufak bir değişim olduğunda sonuçta muazzam bir değişim ortaya çıkar.”[10]

Standart matematik kitapları dünyanın gerçekte nasıl bir şey olduğu ve doğanın gerçekte nasıl işlediği hususunda yanlış bir izlenim verirler. “Bu şekilde gelişen matematik sezgisi,” der Robert May “öğrencilerin, en basit nonlineer sistemlerden birinin sergilediği garip davranışlarla uğraşmak için ihtiyaç duyduğu araç ve gereçleri de sağlayamamaktadır.”[11] İlkokul geometrisi bize kareler, daireler, üçgenler ve paralelkenarlara tamamen birbirinden farklı şeyler olarak bakmayı öğretirken, topolojide (“lastik-levha geometrisi”) bunlar aynı şeyler olarak ele alınır. Geleneksel geometri bir dairenin kareleştirilemeyeceğini öğretirken topolojide durum farklıdır. Katı sınır çizgileri kırılır: bir kare bir daireye dönüştürülebilir (“deforme edilebilir”). 20. yüzyıl biliminin gözalıcı ilerlemelerine rağmen, oldukça basit görünen çok sayıda olgunun, meselâ hava durumunun, sıvı akışının, türbülansın vb. yeterince anlaşılmadığından ve matematiksel terimlerle ifade edilemeyeceğinden bahsetmek şaşırtıcıdır. Klasik geometri kalıpları, doğada bulunan son derece karmaşık ve düzensiz yüzeyleri ifade etmekte yetersiz kalır. Gleick’ın belirttiği gibi:

Topoloji, şekiller bükülerek, esnetilerek veya gerilerek deforme edildiğinde değişmeden kalan özellikleri inceler. Bir şeklin kare mi daire mi, büyük mü küçük mü olduğunun topolojiyle ilgisi yoktur, çünkü uzatma işlemiyle bu özellikler değişebilir. Topologlar bir şeklin bağlı olup olmadığını, delikleri olup olmadığını, boğumlu olup olmadığını sorarlar. Yüzeyleri sadece Eukleides’in bir, iki veya üç boyutlu evreninde değil, göz önüne getirilmesi imkânsız çok boyutlu uzaylar içinde hayal ederler. Topoloji lastik yüzeyler üzerinde uygulanan geometridir. Nicel olandan çok nitel olanla ilgilenir.[12]

Diferansiyel denklemler konumdaki değişim hızını ele alır. Bu ilk bakışta görüldüğünden çok daha karmaşık ve zordur. Birçok diferansiyel denklem hiç çözülemeyebilir de. Bu denklemler hareketi açıklayabilir, ama bir noktadan diğerine düzgün bir konum değişimi olarak, yani ani sıçramalar ve kesintiler olmaması kaydıyla. Ne var ki doğada değişim sırf bu yolla gerçekleşmez. Yavaş, tedrici ve kesintisiz değişim dönemleri keskin dönüşler, süreklilikteki kopuşlar, patlamalar ve felâketlerle noktalanırlar. Bu olgu, organik ve inorganik doğadan, toplum ve insan düşüncesi tarihinden alınacak sayısız örnekle gösterilebilir. Diferansiyel bir denklemde, zamanın bir dizi çok küçük “zaman adımı”na bölündüğü farz edilir. Bu yaklaşık bir gerçeklik sunar, ama aslında böyle “adımlar” mevcut değildir. Herakleitos’un ifade ettiği gibi, “her şey akar.”

Geleneksel matematiğin, sırf nicel değişimlerin aksine nitel değişimleri ele alabilmekteki aczi ciddi bir sınırlamayı ifade eder. Belli sınırlar içerisinde bu matematik yeterli olabilir. Ama tedrici nicel değişimler aniden kesildiğinde ve, yürürlükteki ifadeyi kullanırsak, “kaotik” hale geldiğinde, klasik matematiğin lineer denklemlerini kullanmak artık yeterli olamaz. Benoit Mandelbrot, Edward Lorenz ve Mitchell Feigenbaum’un ön ayak olduğu yeni nonlineer matematiğin kalkış noktası işte budur. Onlar farkında bile olmaksızın Hegel’in adımlarını takip ediyorlardı, Hegel’in düğümlü ölçü çizgileri de diyalektiğin temeli olan bu aynı düşünceyi ifade eder.

Matematiğe ilişkin bu yeni tutum, mevcut matematik ekollerinin artık ölme noktasına gelmesi karşısında bir tepki olarak gelişti. Mandelbrot ilk ilkelerden yola çıkarak ve her şeyi bu ilkelerden türeterek bütünüyle soyut bir yaklaşımı savunan ve Bourbaki grubu olarak bilinen Fransız matematiksel Biçimcilik ekolünün bir üyesiydi. Bu grubun üyeleri yaptıkları işin bilimle veya gerçek dünyayla alâkası olmamasıyla aslında gurur duyuyorlardı. Ancak bilgisayarın gelişi duruma tümüyle yeni bir unsur kattı. Tekniğin gelişiminin bilimi nasıl koşullandırdığının bir başka örneğidir bu. Bir düğmeye basılarak yapılabilen muazzam sayıdaki hesaplamalar, önceleri yalnızca tesadüfi ve kaotik olguların varolduğu yerler gözüyle bakılan alanlarda da desenler ve yasaların mevcut bulunduğunu keşfetmeyi mümkün hale getirdi.

Mandelbrot, radyo iletişimindeki parazit patlamaları, Nil nehrinin taşması ve borsa krizleri gibi görünüşte tesadüfi gözüken doğal dünyanın açıklanamayan olgularını araştırarak işe başladı. Geleneksel matematiğin bu gibi olguları gereğince ele alamayacağını fark etti. Geçen yüzyılda sonsuzluğu araştıran George Cantor, kendi adıyla anılan bir küme bulmuştu. Bu küme, toplam uzunluğu sıfır olan, sonsuz sayıda noktaya bölünen (Cantor “toz”u) bir çizgidir. Böylesi bariz bir çelişki birçok 19. yüzyıl matematikçisini rahatsız ettiği halde, kaos teorisinde kilit bir rol oynayan Mandelbrot’un yeni teorisi fraktal matematiğe başlangıç noktası olarak hizmet etti: “Geometrinin iki bin yıllık geçmişinde” der Gleick, “süreksizlik, gürültü patlamaları, Cantor tozları gibi olguların yeri olmamıştır. Klasik geometrinin şekilleri çizgiler ve yüzeyler, daireler ve küreler, üçgenler ve konilerdir. Bunlar gerçekliğin çok kuvvetli bir soyutlamasını temsil ederler ve Platoncu uyumun güçlü felsefesine ilham vermişlerdir. Eukleides bunlardan, birçok insan tarafından bugün bile öğrenilen, iki bin yıldır süren bir geometri ortaya çıkardı. Aristoteles onlarda ideal bir güzellik bulmuş, Ptolemeci gökbilimciler bunları esas alıp evren için bir teori kurmuşlardır. Ama karmaşıklığı anlamada bunların yanlış türden soyutlamalar olduğu ortaya çıkıyor.”[13]

Bilimin tümü, gerçeklik dünyasından belli bir soyutlama derecesi gerektirir. Uzunluk, derinlik ve kalınlıkla ilgilenen klasik Eukleides ölçümünün sorunu, gerçek dünyada mevcut bulunan düzensiz şekillerin özünü yakalamaktaki başarısızlığıdır. Matematik bilimi büyüklüklerin bilimidir. Öklid geometrisinin soyutlamaları bu nedenle şeylerin nicel yönleri dışındaki her şeyi bir tarafa iter. Gerçeklik, düzlemlere, doğrulara ve noktalara indirgenir. Ne var ki, matematiğin soyutlamaları, onlara ilişkin olarak ileri sürülen tüm abartılı iddialara karşın, düzensiz şekilleriyle ve sürekli ve ani değişimleriyle gerçek dünyaya yalnızca kaba bir yaklaşıklık olarak kalırlar. Romalı şair Horace’ın sözleriyle, “doğayı bir tırmıkla kovabilirsiniz, ama o daima geri gelir.” James Gleick klasik matematikle kaos teorisi arasındaki farklılığı şu şekilde açıklıyor:

Mandelbrot bulutların küre olmadığını söylemeye bayılır. Dağlar koni değildir. Yıldırım düz bir çizgide hareket etmez. Yeni geometri, yuvarlak olmayan, engebeli, düz olmayan, pürüzlü bir evreni yansıtır. Bu geometri çukurlaşan, kabaran, kırılan, bükülen, düğümlenen ve birbirine dolaşan şeylerin geometrisidir. Doğanın karmaşıklığının kavranılması, karmaşıklığın sadece rastlantısal olmadığının, sadece gelişigüzel olmadığının emarelerini bekledi. Bu, örneğin yıldırımın izlediği yolun ilginç özelliğinin onun yönü olmadığına, fakat daha çok zikzakların dağılımı olduğuna inanmayı gerektiriyordu. Mandelbrot’un çalışması dünya hakkında bir iddiada bulunmuştur, bu iddiaya göre bu tür garip şekiller bir anlam taşırlar. Girintiler ve düğümler sadece Öklid geometrisindeki klasik şekilleri bozan kusurlar olarak görülmemelidir. Bunlar çoğu zaman bir olgunun özünün sırrını açmaya yarayan anahtarlardır.[14]

Bunlar geleneksel matematikçiler tarafından anormal sapkınlıklar olarak görüldü. Fakat bir diyalektikçiye göre, tıpkı maddenin sonsuz bölünebilirliğinde olduğu gibi, sonlunun ve sonsuzun birliğinin matematiksel terimlerle ifade edilebileceğini gösterirler. Sonsuzluk doğada mevcuttur. Evren sonsuz büyüklüktedir. Madde sonsuz küçük parçaya bölünebilir. Bu yüzden “evrenin başlangıcı” hakkındaki tüm laflar, “maddenin yapı taşlarının” ve “nihai parçacığın” araştırılması bütünüyle yanlış kabullere dayanır. Matematiksel sonsuzun varlığı yalnızca bu gerçeğin bir yansımasıdır. Aynı zamanda bu sonsuz evrenin sonlu kütlelerden oluşması diyalektik bir çelişkidir. Böylece sonlu ve sonsuz, karşıtların diyalektik birliğini oluşturur. Biri diğeri olmadan varolamaz. Bu nedenle sorun evrenin sonlu mu yoksa sonsuz mu olduğunda değildir. Hegel’in uzun zaman önce açıkladığı gibi o hem sonlu hem de sonsuzdur.

Modern bilimdeki ilerlemeler maddeler dünyasının daha derinlerine nüfuz etmemize olanak verdi. Her aşamada, buna bir “son verme çağrısı”, sözde aşılmaz bir engel dikme girişimi olmuştur. Fakat her aşamada şaşırtıcı yeni olgular açığa çıkarılarak sınırlar aşılmıştır. Her yeni ve daha güçlü parçacık hızlandırıcısı, hep daha küçük zaman ölçeklerinde varlık bulan, yeni ve daha küçük parçacıkları ortaya çıkarmıştır. Bugün parçacıkların sonu olarak bilinen kuarklar açısından durumun farklı olduğunu varsaymak için hiçbir sebep yoktur.

Aynı şekilde, evrenin ve “zamanın” başlangıcını kanıtlama girişiminin boş bir işe kalkışmak olduğu anlaşılacaktır. Maddi evrenin sınırı yoktur ve bunun tersini kabul ettirme çabaları kaçınılmaz olarak iflâs edecektir. Kaos teorisinin yeni matematiğinin en cesaret verici tarafı, kısır soyutlamalara ve fildişi kulelerinin indirgemeciliğine bir reddiyeyi ve doğaya ve günlük deneyimler dünyasına doğru bir geri dönüş girişimini temsil etmesidir. Ve matematik doğayı yansıttığı ölçüde, tek taraflı karakterini kaybetmeye başlamalı ve gerçek dünyanın dinamik, çelişkili ve tek kelimeyle diyalektik karakterini ifade eden tamamen yeni bir boyut kazanmalıdır.




[1] Aristoteles, Metaphysics, s.120, 251 ve 253. [Metafizik, s.454, 531, 535]

[2] T. Hobbes, Leviathan, s.14.

[3] A. Hooper, Makers of Mathematics (Matematiği Kuranlar), s.4-5.

* İrrasyonel sayılar (“akıl dışı” sayılar): Bir kesir olarak ifade edilemeyen sayılar. Pisagorcular her çokluğun tamsayılarla ifade edilebileceğini savundukları için iki tam sayının birbirine bölümü olarak ifade edilemeyen bu sayılara “akıl dışı” olarak bakmışlardır. (ç.n.)

İmajiner sayılar: –1 sayısının kare kökünü barındıran sayılar. Tüm reel (gerçel) sayıların karesi pozitiftir, bu nedenle karesi negatif olan sayıların gerçekte varolamayacağı düşüncesiyle bu sayılar imajiner, yani hayali sayılar olarak adlandırılmıştır. (ç.n.)

Transendental sayılar: Cebirsel işlemlerle elde edilemeyen sayılar. Bu tip sayılar da benzer bir mantıkla, insan bilgisini, düşüncesini, inançlarını ve deneyimini aşan, pratik deneyimle elde edilemeyecek, anlaşılamayacak anlamına gelen transendental kavramıyla anılmıştır. (ç.n.)

Sonluötesi sayılar: Sonu, sınırı olmayan, ölçülemeyen sayılar. (ç.n.)

[4] Engels, Anti-Dühring, s.154. [Anti-Dühring, 214]

[5] B. Hoffman, The Strange Story of the Quantum, s.95.

[6] Engels, The Dialectics of Nature, s.341-2. [Doğanın Diyalektiği, s.283]

[7] Hegel, The Science of Logic, s.257.

[8] Engels, Anti-Dühring, s.63. [Anti-Dühring, s.115]

[9] aktaran: T. Ferris, age, s.521-2 ve 522-3.

[10] I. Stewart, Does God Play Dice?, s.63.

[11] aktaran: J. Gleick, Chaos, s.80. [Kaos, s.91]

[12] J. Gleick, Chaos, s.46. [Kaos, s.47]

[13] J. Gleick, Chaos, s.94. [Kaos, s.108]

[14] J. Gleick, Chaos, s.94. [Kaos, s.108]